Funcion diente de sierra
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Onda de diente de sierra
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La onda diente de sierra (u onda de sierra) es un tipo de onda no sinusoidal. Se llama así por su parecido con los dientes de una sierra de dientes lisos con un ángulo de inclinación cero. Un diente de sierra simple, o un diente de sierra disparado intermitentemente, se denomina forma de onda de rampa.
La convención es que una onda de diente de sierra sube en rampa y luego baja bruscamente. En una onda de diente de sierra inversa, la onda se eleva hacia abajo y luego sube bruscamente. También puede considerarse el caso extremo de una onda triangular asimétrica[1].
Mientras que una onda cuadrada se construye sólo con armónicos impares, el sonido de una onda diente de sierra es áspero y claro y su espectro contiene tanto armónicos pares como impares de la frecuencia fundamental. Dado que contiene todos los armónicos enteros, es una de las mejores formas de onda para utilizar en la síntesis sustractiva de sonidos musicales, en particular de instrumentos de cuerda con arco, como violines y violonchelos, ya que el comportamiento de deslizamiento del arco impulsa las cuerdas con un movimiento similar al de los dientes de sierra[2].
Retroalimentación
Para ello, necesito calcular la fuerza de inercia causada por la forma de onda de diente de sierra. Y para encontrar la fuerza de inercia, necesito calcular la segunda derivada de la forma de onda diente de sierra. Pero porque, ya sabes, la forma de onda diente de sierra no es diferenciable en todas partes, creo que hacer una aproximación mediante el uso de una forma de onda diente de sierra suave es suficiente. Suave’ aquí, me refiero a sustituir la punta superior y la punta inferior de la forma de onda diente de sierra en una curva circular de un cierto radio.
Un enfoque es convulsionar la onda diente de sierra directamente con un núcleo gaussiano. Como esto se puede hacer de forma analítica, es posible obtener una función que está en forma cerrada y, por tanto, se puede diferenciar sin interpolación.
La serie de Fourier del diente de sierra es diferenciable, al estar formada por senos. Sin embargo, como señaló ybeltukov en un comentario que no había leído hasta que me lo hizo notar, las series de Fourier de funciones diferenciables continuamente a trozos tienden a sobrepasar las discontinuidades de un salto, algo que se llama fenómeno de Gibbs. Por esa razón una serie de Fourier puede no funcionar muy bien para las derivadas.
Serie de fourier de la función diente de sierra
\[{b_n} = \frac{1}{\pi}{int\\limits_{ – \pi }^\pi {x\sin nxdx} = \frac{1}{\pi}{left[ {\left. {\left( { – \frac{{cos nx}} {n} \right)} \right|_{ – \pi }^\pi – \int\limits_{ – \pi }^\pi {\left( { – \frac{{cos nx}{n})\right)dx} } \right] = \frac{1}{{n\pi }}left[ { – 2\pi \cos n\pi + \left. {\left( {\frac{{sin nx}}{n} \right)} \right|_{ – \pi }^\pi } \right] = \frac{1}{{n\pi }}left[ { {\ 2\pi \cos n\pi + \frac{1}{n}left( {\sin n\pi – \sin \left( {\\pi } \right)} \right)} \right] = \frac{1}{n\pi }\left[ { – 2\pi \cos n\pi + \frac{{2\sin n\pi }{n} \right] = \frac{2}{n\pi }\left[ {\frac{{sin n\pi }{n} – \pi \cos n\pi } \right]. \] \N – {a_0} = \frac{1}{pi} {int\\\\\N}limits_{{}} – {\pi} {f\left( x \right)} dx} = \frac{1}{pi} {int\\\\N}limits_{{{}} – {\pi}{{2}dx} = \frac{2}{pi} {int\\\N}limits_0^\pi {{x^2}dx} = \frac{2}{pi}{{cdot} \cdot \left[ {\left. {\left( {\frac{{x^3}}{3} \right)} \right|_0^\pi } \right] = \frac{2}{\pi } \cdot \frac{{{pi ^3}}{3} = \frac{{2{pi ^2}}{3},\cdot]
Límites de la función diente de sierra
Considere la función de pulso periódico que se muestra a continuación. Es una función par con periodo T. La función es una función de pulso con amplitud A, y ancho de pulso Tp. La función puede ser definida sobre un período (centrado alrededor del origen) como:
Esto puede ser un poco difícil de entender al principio, pero considera la función seno. La función sin(x/2) es dos veces más lenta que sin(x) (es decir, cada oscilación es dos veces más amplia). Del mismo modo, ΠT(t/2) es dos veces más ancha (es decir, lenta) que ΠT(t).
Los valores de an se indican en la tabla siguiente. Nota: este ejemplo se utilizó en la página de introducción a las series de Fourier. Nótese también, que en este caso an (excepto para n=0) es cero para n par, y disminuye como 1/n a medida que n aumenta.
En problemas con funciones pares e impares, podemos explotar la simetría inherente para simplificar la integral. Más adelante explotaremos otras simetrías. Consideremos el problema anterior. Tenemos una expresión para an, n≠0
{c_n} &= {1 \ sobre T} {int\limits_{ – {T \ sobre 2}}^{ + {T \ sobre 2}} {{x_T}(t){e^{ – jn{\omega _0}}dt} = {1 \over T}int\limits_{{{T_p}} \sobre 2}}^{ + {{T_p}} \sobre 2}} {A{e^{ – jn{omega _0}}dt} \cr
